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Wesentliche Begriffe: und, oder, nicht
Aussagen können sein: wahr (1) oder falsch (0)
Kurt und Liesel stehen auf der Brücke.
Kurt oder Liesel stehen auf der Brücke.
Kurt oder Liesel stehen exklusiv auf der Brücke.
Kurt und nicht Liesel steht auf der Brücke.
Es stehen nicht Kurt und Liesel auf der Brücke.
Ein Transistor leitet Strom vom Kollektor zum Emitter nur dann, wenn auch an der Basis ein kleiner Strom fließt. Er ist sozusagen ein „Spannungsschalter“, der nicht per Knopfdruck schaltet, sondern durch Anlegen einer Spannung. Damit ist er vollständig elektrisch steuerbar.
Je nachdem, wie Transistoren in eine Schaltung eingebracht werden, entprechend sie einer bestimmten Logik.
Die folgende Schaltung entspricht einem "und" (AND):
Der Strom fließt nur dann vom Plus-Pol zum Ausgang, wenn Eingang a unter Strom liegt und wenn Eingang b unter Strom liegt.
Diese Schaltung entspricht einem "oder" (OR):
Hier genügt es, wenn einer der beiden Eingänge a oder b unter Strom liegt.
Diese Schaltung wiederum entspricht einem "nicht" (NOT):
Der Strom wird zum Ausgang geleitet, wenn der Eingang des Transistors nicht unter Strom liegt. Falls doch, so fließt der Strom über den Transistor ab.
Prozessoren sind aus Transistoren (Spannungsschaltern) aufgebaut, die je nach Logik Strom weiterleiten (1) oder nicht (0). Je nach Kombination ergeben sich dabei Gatter für fließenden Strom. In Wahrheitstabellen kann dargestellt werden, bei welchen Signalen an den Eingängen Strom fließt. Übliche Gatter sind:
(Ein Kreis am Ausgang eines Gatters kehrt das Signal jeweils um. Ein NAND (Not AND) ist also das Gegenteil von einem AND.)
In Wahrheitstabellen können alle Fälle von Ein- und Ausgängen dargestellt werden. Eine 1 bedeutet "an" bzw. "wahr" und eine 0 bedeutet "aus" bzw. "falsch".
Welche Gatter sind hier mit Wahrheitstabellen dargestellt?
Finde und benenne weitere Alltagssituationen oder Geräte, in denen ...
a) ... eine Und-Logik vorkommt.
b) ... eine Oder-Logik vorkommt.
Erstelle jeweils eine Wahrheitstabelle zu der Schaltung.
a) Beschreibe mit Worten, was die untenstehende Wahrheitstabelle aussagt.
b) Wie kann man sie mit Logik-Gattern umsetzen?
Öffne die Simulation in einem Browser:
Probiere mit Schaltern, Gattern und LEDs etwas herum, um zu verstehen, wie die Simulation funktioniert.
Implementiere eine Schaltung mit zwei Schaltern und einem Gatter, die eine LED leuchten lässt, sobald einer von ihnen an ist.
Implementiere eine Schaltung mit drei Schaltern und mehreren Gattern, so dass eine LED nur dann leuchtet, wenn alle drei an sind. (Das ist ein 3-Eingangs-AND)
Implementiere eine Schaltung mit drei Schaltern und mehreren Gattern, so dass eine LED leuchtet, sobald einer von ihnen an ist. (Das ist ein 3-Eingangs-OR)
Implementiere eine "2 aus 3"-Schaltung. Sie soll genau dann eine 1 ausgeben, wenn mindestens 2 von 3 Eingängen an sind.
Erstelle eine Wahrheitstabelle für die vorgegebene Schaltung.
Das NAND-Gatter ist universell. Das bedeutet, dass einer Kombination von NAND-Gattern jedes andere Gatter konstruiert werden kann.
Zur Erinnerung: Es ist das Gegenteil von AND. Es liefert immer eine 1, außer es sind beide Eingänge a und b an.
Hilfe zur Bearbeitung der Aufgaben:
Ordne die folgenden Schaltungen aus NAND-Gattern dem jeweiligen Gatter zu. Gehe sie dafür gedanklich detailliert durch und vergleiche anhand der Wahrheitstabellen, welchem Gatter sie entsprechen. Nach jeder Schaltung kannst du sie in der
Schaltung 1:
Schaltung 2:
Schaltung 3:
Schaltung 4:
Schaltung 5:
Schaltung 6:
Implementiere in der Simulation selbst eine XNOR-Schaltung. Also ein NOT-XOR, bzw. das Gegenteil von XOR.
Folgt noch.
in Worten:
"nicht a oder b"
Schaltung:
Wahrheitstabelle:
boolescher Term:
aus Worten: a̅∨b
aus Tabelle mit 1: (a̅∧b̅)∨(a̅∧b)∨(a∧b)
∧ und, ∨ oder, a̅ nicht
Solch einen Termin erhält man, indem in der Tabelle alle Zeilen logisch beschrieben werden, die eine 1 als Ausgabe haben. In der obigen Tabelle also die Zeilen 1, 2 und 4. Die erste Zeile hat als Eingaben a = 0 und b = 0. Damit daraus eine 1 ausgegeben wird, muss also gelten "nicht a und nicht b". Die weiteren Zeilen hängt man mit einem "oder" ran.
Verwende für die Aufgaben die Simulation:
In dieser Aufgabe wird der folgende Term betrachtet: (a̅∧b̅∧c)∨(a∧b̅∧c̅)
a) Formuliere den Term in Worten.
b) Erstelle eine Wahrheitstabelle zum Term. (Erinnerung: Er gibt an, wann die Schaltung 1 ausgibt.)
c) Zeichne eine Schaltung zum Term auf Papier/Tablet.
d) Implementiere die Schaltung in der Simulation und überprüfe sie damit.
Implementiere ein 3-Eingangs-XNOR mithilfe einer Wahrheitstabelle. Es funktioniert wie ein NOR, allerdings dürfen alle 3 Eingänge an sein. (Evtl. musst du nochmal nachsehen, was ein NOR ist.)
Übersetze folgende Schaltung zu einem Term …
… indem du eine Wahrheitstabelle aufstellst.
… indem du die Logikgatter direkt in Zeichen übersetzt.
Eine Alarmanlage soll auslösen (Ausgabe 1), wenn entweder Fenster (Eingang F) und Tür (Eingang T) offen sind oder wenn das Fenster offen ist und kein Code eingegeben wurde (Eingang C).
a) Stelle die Wahrheitstabelle auf.
b) Notiere als Term.
c) Implementiere eine Schaltung in der Simulation.
Unser übliches Zahlensystem (die Dezimalzahlen) besitzen an jeder Stelle zehn mögliche Ziffern (0 bis 9). Damit besteht die Dezimalzahl 13 aus den Ziffern 1 und 3. Binärzahlen besitzen nur zwei mögliche Ziffern (0 und 1). Die Dezimalzahl 13 entspräche dabei der Binärzahl 1101. Eine Ziffer entspricht dabei einem Bit. Wir werden 4-Bit-Zahlen betrachten, also immer 4 Ziffern.
Mit dem Button kannst du das automatische Hochzählen aktivieren und so nachvollziehen, wie Binärzahlen aufgebaut sind:
Dezimalzahl: 0
Oder gib eine Dezimalzahl zwischen 0 und 15 ein, um ihre binäre Darstellung zu sehen:
Klicke auf die Ziffern, um die Bits zu ändern, oder gib rechts eine Dezimalzahl ein. Das Ergebnis wird sofort wie bei einer schriftlichen Addition berechnet.
Wandle die Zahlen ins jeweils andere Zahlensystem um.
Vervollständige die Addtion von Binärzahlen.
Erläutere einen sogenannten Volladdierer mithilfe der Darstellungen. Gehe dabei auch auf den Unterschied zu einem Halbaddierer ein.
Ein Halbaddierer kann einzelne Ziffern addieren und bei Bedarf einen Übertrag weitergeben. Das ist bekannt aus der schriftlichen Addition:
Die Wahrheitstabelle sieht also wie folgt aus, wobei a und b die zu Addierenden Ziffern sind, s die Summe der beiden und ü der Wert des Übertrags.
Das Gatter eines Halbaddierers hat also 2 Eingänge (a und b) sowie 2 Ausgänge (s und ü):
Betrachtet man die Werte von s und ü in der Tabelle, so stellt man fest, dass s einem "a XOR b" entspricht und ü einem "a AND b". Die technische Umsetzung mit den Gattern sieht demnach wie folt aus:
Ein Volladdierer nutzt zusätzlich den Übertrag der vorherigen Berechnung:
Nur so können längere Zahlen richtig addiert werden. Dadurch muss er 3 Eingänge (zusätzlich das ü der vorherigen Berechnung) besitzen.
Fülle die Tabelle passend aus (schreibe sie dafür auf Papier/Tablet/Excel/Paint/...). Bei den Überlegungen solltest du die obige Abbildung beachten, die das schriftliche Addieren beim Volladdierer darstellt.
("s" steht für die Summe und "ü" für den Übertrag.)
Öffne den folgenden Link und schaue dir den Aufbau eines Volladdierers in der Simulation an. ("HA" ist ein Halbaddierer.)
Link:
a) Versuche die Funktionsweise der Schaltung nachzuvollziehen.
b) Überprüfe die Werte in deiner Tabelle aus Level 1 an dieser Simulation.
c) Zeichne das "Innenleben" des Volladdierer-Gatters in das folgende Modul, so wie es oben für einen Halbaddierer dargestellt ist.
Implementiere in der Simulation eine Schaltung, die zwei 4-Bit-Zahlen vollständig addiert und die Summe ausgibt.
Nutze dazu:
(Solltest du es nach ernsten eigenen Versuchen nicht hinbekommen, kannst du das Internet befragen.)
- Logikgatter: Wörter, Symbole, Wahrheitstabellen, Aussagen zuordnen.
- Schaltungen mit Gattern: Nach Vorgabe implementieren und Tabelle dazu aufstellen (z.B. 3-Eingangs-Gatter und "2 aus 3"-Schaltung).
- Die 4 Darstellungsformen: Dazwischen umwandeln.
- Addierer: Halb- und Volladdierer.
(NICHT: Transistoren, IC-Chips und Tinkercad, Breadboard-Schaltungen)
